Divisibilité par 240 - Corrigé

Énoncé

Soit \(p\) un nombre premier supérieur ou égal à \(7\) .

1. a. Justifier que \(p\) n'est pas congru à \(0\) modulo \(3\) .
    b. Montrer que \(p^4-1\) est divisible par \(3\) .

2. a. Justifier qu'il existe un entier \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(p^2-1=4k(k+1)\) .
    b. En déduire que \(p^2-1\) est divisible par \(8\) .
    c. Montrer alors que \(p^4-1\) est divisible par \(16\) .

3. En raisonnant modulo \(5\) , montrer que \(p^4-1\) est divisible par \(5\) .

4. Démontrer que \(p^4-1\) est divisible par \(240\) .

Solution

1. a. Si \(p\) était congru à \(0\) modulo \(3\) , alors \(p\) serait divisible par \(3\) et comme \(p\) est premier, on aurait \(p=3\) : c'est impossible, car \(p \geqslant 7\) .

    b. D'après la question 1.a, \(p\) n'est pas congru à \(0\) modulo \(3\) . On a donc deux alternatives :

• ou bien \(p \equiv 1 \ [3]\) , et alors \(p^4 \equiv 1^4 \equiv 1 \ [3]\) , donc \(p^4-1 \equiv 0 \ [3]\) ;
• ou bien \(p \equiv 2 \ [3]\) , et alors \(p^4 \equiv 2^4 \equiv 16 \equiv 1 \ [3]\) , donc \(p^4-1 \equiv 0 \ [3]\) .

Dans les deux cas, on a bien \(p^4-1 \equiv 0 \ [3]\) , autrement dit \(p^4-1\) est divisible par \(3\) .

2. a. Comme \(p\) est un nombre premier supérieur ou égal à \(7\) , \(p\) est un entier impair. Ainsi, il existe \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(p=2k+1\) . On en déduit que
\(\begin{align*}p^2-1& = (2k+1)^2-1=4k^2+4k+1-1=4k^2+4k=4k(k+1)\end{align*}\) .

    b. D'après la question 2.a, on peut écrire \(p^2-1=4k(k+1)\) avec \(k \in \mathbb{N}\) . Or \(k(k+1)\) est le produit de deux entiers consécutifs, donc ce produit est pair et peut s'écrire \(k(k+1)=2k'\) avec \(k' \in \mathbb{N}\) .
On a donc \(p^2-1=4k(k+1)=4 \times 2k'=8k'\) et ainsi, \(p^2-1\) est divisible par \(8\) .

    c. On a \(p^4-1=(p^2)^2-1^2=(p^2-1)(p^2+1)\) . D'après la question 2.b, on peut écrire \(p^2-1=8k'\) avec \(k' \in \mathbb{N}\) .
De plus, comme \(p\) est impair, il s'ensuit que \(p^2\) est aussi impair et donc \(p^2+1\) est pair, donc s'écrit \(p^2+1=2k''\) avec \(k'' \in \mathbb{N}\) .
Finalement,  \(p^4-1=(p^2-1)(p^2+1)=8k' \times 2k''=16k'k''\)  donc \(p^4-1\) est divisible par \(16\) .

3. On fait le tableau de congruences de \(p^4-1\) modulo \(5\) :

\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline p \equiv ... \ [5] &1&2&3&4\\ \hline p^4 \equiv ... \ [5] &1^4 \equiv 1&2^4\equiv 16 \equiv 1&3^4 \equiv 81 \equiv 1&4^4 \equiv 256 \equiv 1\\ \hline p^4-1 \equiv ... \ [5] &0&0&0&0\\ \hline\end{array}\end{align*}\)  

donc \(p^4-1 \equiv 0 \ [5]\) , c'est-à-dire \(p^4-1\) est divisible par \(5\) .

4. D'après les questions précédentes, \(p^4-1\) est divisible par \(3\) , par \(16\) et par \(5\) . En utilisant deux fois et successivement le corollaire du théorème de Gauss, on en déduit que :

• comme \(3\) et \(16\) sont premiers entre eux, \(p^4-1\) est divisible par \(3 \times 16=48\) ;
• comme \(5\) et \(48\) sont premiers entre eux, \(p^4-1\) est divisible par \(5 \times 48=240\) .